Qui di seguito verranno esposte alcune considerazioni di carattere generale che permetteranno la soluzione grafica di equazioni algebriche di 3° e 4° grado. La teoria generale che sta a monte è piuttosto complessa, perché richiede conoscenze di Analisi Matematica ed una certa padronanza della Geometria Analitica. Pertanto, in queste brevi note ci limiteremo a considerare i casi più frequenti, lasciando l’approfondimento dei casi più complessi allo studente diligente.

Premessa. – È noto che le equazioni algebriche di 3° e 4° grado si possono risolvere per radicali

(cfr. http://www.maecla.it/Matematica/Equazioni_algebriche_Santoro.pdf ),

come è pure noto che, mediante il piano cartesiano, si risolvono graficamente sistemi di primo grado a due incognite (come intersezioni di rette); il piano cartesiano permette altresì la soluzione di equazioni di 2° grado (in una incognita) mediante l’intersezione di parabole con l’asse delle ascisse. Accenniamo ora ad un metodo generale per la risoluzione grafica delle equazioni di terzo e quarto grado.

 OSSERVAZIONE  Il metodo di soluzione delle equazioni algebriche di 3° e 4° grado per radicali (che si può approfondire al link fornito) richiede una buona conoscenza della teoria dei numeri complessi. Non è difficile verificare (ad es. per le equazioni di 3° grado) che, anche nel caso in cui tutte le soluzioni siano reali, le formule risolutive conducono a considerare ugualmente numeri complessi. Il metodo grafico qui esposto ha il vantaggio di essere più semplice delle formule risolutive, e di potersi applicare comunque, ma le intersezioni che si ottengono corrispondono soltanto alle radici reali. Pertanto, se ad es. un’equazione di 3° grado a coefficienti reali, risolta con il metodo  grafico qui proposto, dovesse ammettere un unico punto di intersezione, significherebbe che abbiamo trovato l’unica radice reale dell’equazione, e che la stessa ammette anche due radici complesse coniugate (per il teorema fondamentale dell’Algebra); radici, queste ultime, è ovvio, non calcolabili graficamente. Il metodo grafico che esporremo può essere somministrato come applicazione della Geometria Analitica delle coniche al 3° anno del Liceo Scientifico; quando, successivamente,  nel 4° anno verranno introdotti i numeri complessi (in forma trigonometrica), si può ritornare nuovamente sull’argomento, approfondendo il metodo di soluzione per radicali.

Matematica

Alunni di scuola secondaria di II° grado