Alcuni tipi di moltiplicazioni tra polinomi, in cui capita di imbattersi frequentemente, si possono effettuare in modo rapido, ricordando alcune semplici regole, chiamate prodotti notevoli. Essi sono utili non solo per semplificare i calcoli, ma anche per la scomposizione in fattori di polinomi. I prodotti notevoli vengono di solito imparati a memoria e quindi, spesso, è facile fare degli errori o incorrere in dimenticanze.  E’ necessario perciò impostare lo studio di essi in modo da presentare due interpretazioni: quella algebrica e quella geometrica.   La visualizzazione dei prodotti notevoli attraverso l’uso della geometria ci aiuterà a capire meglio queste formule e a ricordarle nel tempo. Ci occuperemo in questa prima fase dell’interpretazione algebrica dei seguenti prodotti notevoli:

Somma per differenza, quadrato di un binomio, quadrato di un trinomio e cubo di un binomio;  in seguito approfondiremo la relativa interpretazione  geometrica.

Somma per differenza, cioè la moltiplicazione tra (a+b) e (a-b)

(a+b) (a-b) = a²-ab+ab-b² = a²-b²

    Si può dedurre che: se a e b sono due generici monomi, il prodotto della somma di a e b  per la loro differenza è uguale alla differenza tra il quadrato di a e il quadrato di b

Quadrato di un binomio : calcoliamo il quadrato di  a+b

(a+b)² =(a+b)(a+b)=a²+ab+ab+b²= a²+2ab+b²

Si può dedurre che: se a e b sono due generici monomi, il quadrato di a+b è uguale al quadrato di a più il doppio prodotto di a e b più il quadrato di b

Quadrato di un trinomio : Calcoliamo il quadrato di a+b+c

(a+b+c)²= (a+b+c)(a+b+c)=a²+ab+ac+ab+b²+bc+ac+bc+c²=a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc

Si può dedurre che: dati i monomi a, b e c, il quadrato del trinomio è uguale alla somma dei quadrati dei tre termini e dei doppi prodotti di ciascuno di essi per tutti quelli che lo seguono

Cubo di un binomio : calcoliamo il cubo di  a+b

(a+b)³ =(a+b)²(a+b)=(a²+2ab+b²)(a+b)=a³+a²b+2a²b+2ab²+ab²+b³= a³+b³+3a²b+3ab²

Si può dedurre che: dati i monomi a e b il cubo di a+b è uguale alla somma dei cubi di a e b più il triplo prodotto del quadrato di a per b più il triplo prodotto di a per il quadrato di b.