Risoluzione grafica di equazioni di quarto grado
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EQUAZIONI DI QUARTO GRADO |
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Riflettiamo
La generica equazione di quarto grado: aX4 + bX3 + cX2 + dX + e = 0
ponendo X = x - b/4a
si riduce alla forma (1) x4 + px2 + qx + r = 0
Basterà quindi studiare la risoluzione grafica della (1) perchè il problema sia risolto in generale.
Posto y = x2
la (1) si può scrivere y2 + py + qx + r = 0
e aggiungendo e sottraendo x2 :
x2 + y2 - x2 + py + qx + r = 0
ricordando la posizione (2) fatta all'inizio (y=x2) :
x2 + y2 - y + py + qx + r = 0
ed anche (3) x2 + y2 + (p - 1)y + qx + r =0
La (1) è quindi equivalente al sistema :
y = x2
x2 + y2 + (p - 1)y + qx + r = 0
Le radici della (1) sono quindi le ascisse dei punti di intersezione della parabola (2) con la circonferenza (3). Anche in questo caso, un esempio servirà a chiarire meglio le idee.
Esempio 3
Risolvere graficamente l'equazione x4 - 5x2 + 4 = 0
Essa si può scrivere x4 + x2 - 6x2 + 4 = 0Ponendo y = x2 , essa è equivalente al sistema :
y2 + x2 - 6y + 4 = 0
y = x2
Le ascisse dei punti di intersezione della circonferenza di centro (0, 3) e raggio √5 , con la parabolay= x2 danno le radici dell'equazione dell'esempio proposto.Dalla figura risulta che esse sono: x1 = - 2 ; x2 = - 1 ; x3 = 1 ; x4 = 2
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